ABLOY-FIRE.RU - Надежная автоматика для противопожарных дверей

Abloy
Главная
Продукция
Решения для одностворчатых дверей
Решения для двустворчатых дверей
Где купить


Новости

21.05.07 - Итоги семинара "Системы автоматического закрывания противопожарных дверей Abloy"

10.05.07 - Первый в России семинар: "Системы автоматического закрывания противопожарных дверей Abloy"

30.04.07 - Открыт новый сайт "Надежная автоматика для противопожарных дверей Abloy"

Как доказать что треугольник прямоугольный


Как доказать, что треугольник прямоугольный

Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен .
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол  бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:

  1. Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы
  2. Медиана прямоугольного треугольника равна половины гипотенузы
  3. сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
  4. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
  5. прямой угол всегда равен 90 градусов
  6. катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
  7. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам

Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать.  Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона  — гипотенуза, которую медиана делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.

Прямоугольный треугольник. Определения и свойства

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по двум катетам).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по катету и острому углу).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и острому углу).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны (по гипотенузе и катету).

 

Свойства прямоугольного треугольника

 

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты  и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

 

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

И, думаю, будет полезна  таблица формул для треугольника

Прямоугольные треугольники — урок. Геометрия, 7 класс.

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника∡ \(1\) \(+\) ∡ \(2 =\) 90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в \(\)30°\(\)).

 

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABC\), в котором ∡ \(A\) — прямой, ∡ \(B =\) 30°, и значит, что ∡ \(C =\) 60°.

 

Докажем, что \(BC = 2 AC\).
Приложим к треугольнику \(ABC\) равный ему треугольник \(ABD\), как показано на рисунке.

Получим треугольник \(BCD\), в котором ∡ \(B =\) ∡ \(D =\) 60°, поэтому \(DC = BC\). Но \(DC = 2 AC\). Следовательно, \(BC = 2 AC\).

 

Справедливо и обратное суждение.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

 

2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

 

4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестные элементы (стороны, углы) прямоугольного треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства. Задачи и решения

Определение 1. Прямоугольный треугольник − это треугольник, один из углов которого прямой (т.е. 90°).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой (сторона c (Рис.1)). Другие стороны, т.е. стороны, прилегающие к прямому углу (стороны a и b) называются катетами.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол ∠ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как ∠A=∠D=∠ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда . Конец доказательства.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда ∠A=∠D=∠ABD=60°. Но ∠ABD=2∠ABС. Следовательно . Конец доказательства.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники равны.

Действительно. Пусть , (Рис.3). Поскольку , то по первому признаку равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

2. Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Действительно. Так как , , (Рис.4), то из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

3. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Теорема 1. Если гипотенуза и прилежащий к нему острый угол прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть и (Рис.5). Так как данные треугольники прямоугольные, то имеет место также равенство . Тогда из второго признака равенства треугольников следует, что треугольники и равны.

4. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Теорема 2. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники и , где , и углы C и C1 прямые (Рис.6).

Поскольку , , , то треугольник можно наложить на треугольник так, чтобы вершина C совместилась с верншиной C1 а стороны CA и CB наложились на лучи C1A1 и C1B1, соответственно (Рис.7).

Так как CB=C1B1, то вершина B совместится с вершиной B1. Покажем, теперь, что вершина A совместится с вершиной A1. Предположим, что они не совместятся. Тогда получим равнобедренный треугольник ABA1, поскольку AB=A1B1. Но в этом случае . Но как мы видим из Рис.7 угол , острый а угол тупой (так как он является смежанным углом к острому углу BAC), что невозможно. Следовательно вершина A совместится с вершиной A1.

Задачи и решения

Задача 1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26.4см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Обозначим через b− меньший катет, а через c− гипотенузу. Из условия задачи имеем: c+b=26.4см.

Так как один из острых углов прямоугольного треугольника равен 60°, то другой острый угол равен 90°−60°=30°. Как известно, против угла 60° лежит большая сторона (катет), а против угла 30° − меньшая. Из свойства 2 следует, что меньшая сторона равна половине гипотенузы : . Тогда имеем: или . Следовательно c=17.6 см.

Ответ: 17.6 см.

Задача 2. В треугольниках ABC и A1B1C1, углы A и A1 прямые, BD и B1D1 −биссектрисы. Докажите, что , если и BD=B1D1.

Доказательство. Так как BD и B1D1 −биссектрисы и , то (Рис.8). Из и следует, что (Теорема 1).

Тогда и, следовательно, . Отсюда получим, что треугольники BDC и B1D1C1 равны (второй признак равенства треугольников:, , ). Следовательно (так как , ).

Как доказать, что треугольник прямоугольный

Среди множества различных фигур на плоскости выделяются многоугольники. Само слово "многоугольник" - указывает на то, что в этой фигуре иного углов. Треугольник - это геометрическая фигура, ограниченная тремя взаимно пересекающимися прямыми, которые образуют три внутренних угла.

Существуют различные треугольники, например: тупоугольный треугольник (угол такой фигуры более 90 градусов), остроугольный (угол менее 90 градусов), прямоугольный треугольник (один угол такого треугольника составляет ровно 90 градусов).Рассмотрим прямоугольный треугольник и его свойства, в которые устанавливаются с помощью теоремы о сумме углов треугольника.
Теорема: сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов, а прямой угол всегда равен 90 градусов. Поэтому сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Вторая теорема: катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.
Рассмотрим треугольник АВС. Угол А будет прямым, угол В равен 30 градусам, следовательно угол С равен 60 градусов. Необходимо доказать, что АС равно одной второй ВС. Нужно приложить к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД. Получается треугольник ВСД, в котором угол В равен углу Д, следовательно равен 60 градусам, поэтому ДС равно ВС. Но АС равно одной второй ДС. Из этого следует, что АС равно одной второй ВС.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам - это третья теорема.
Необходимо рассмотреть треугольник АВС, у которого катет АС равен половине ВС (гипотенуза). Докажем, что угол АВС равен 30 градусам. Приложите к треугольнику АВС равный ему треугольник АВД. Должен получиться равносторонний треугольник ВСД (ВС = СД = ДВ). Углы такого треугольника будут равны друг другу, поэтому каждый угол равен 60 градусов. В частности, угол ДВС равен 60 градусов, а угол ДВС равен двум углам АВС. Следовательно, угол АВС равен 30 градусам. Что и требовалось доказать.

Урок 6: Треугольник прямоугольный - 100urokov.ru

План урока:

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Понятие расстояния между точкой и прямой

Расстояние между параллельными прямыми

Построение треугольника по трем элементам

 

Прямоугольный треугольник

Напомним, что прямоугольным треугольником называют треуг-к, один из углов которого равен 90°.

Покажем несколько рисунков, на которых изображены прямоугольные треуг-ки:

Тот угол, который равен 90° (его ещё называют прямым), отмечается квадратиком.

Может ли у треуг-ка быть два или три прямых угла? Конечно же нет, ведь сумма углов треугольника должна равняться 180°. Отсюда следует очевидный факт – те 2 угла прямоугольного треуг-ка, которые не равны 90°, должны быть острыми. Более того, можно утверждать, что их сумма в точности равна 90°.

 

Задание. В прямоугольном треуг-ке один из углов равен 40°. Чему равен второй острый угол?

Решение.

Обозначим неизвестный нам угол как ∠1. Сумма острых углов должна равняться 90°, поэтому можно записать уравнение:

Этот ответ можно получить и немного иначе. Сумма всех углов треуг-ка равна 180°. Один из них равен 40°, а другой – 90°. То есть можно составить такое равенство:

Первый способ отличается лишь тем, что он требует более простых вычислений.

Ответ: 50°

Онлайн-курсы помогают систематизировать информацию и закрепить ее в прочные знания.

Перейти

Задание. Найдите все углы треугольника, который одновременно является и прямоугольным, и равнобедренным.

Решение. У любого равнобедренного треуг-ка есть два одинаковых угла при основании. Ясно, что в прямоугольном треуг-ке не может быть двух прямых углов, а потому равны друг другу острые углы. Обозначим величину одного из них как х. Оба угла равны х, поэтому можно записать уравнение:

Получается, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а один – 90°.

У сторон прямоугольного треугольника есть особые названия. Та сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, а две остальные стороны называют катетами.

По рисунку видно, что гипотенуза длиннее катетов. И это правило выполняется для всех прямоугольных треуг-ков. В самом деле, в любом треуг-ке против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Катеты лежат против острых углов, а гипотенуза – против прямого угла, и поэтому она длиннее.

 

Задание. Докажите, что если в треуг-ке из одной вершины провести и медиану, и высоту, то медиана будет не меньше высоты.

Решение. Напомним, что высота – это отрезок, опущенный на сторону под прямым углом, а медиана – отрезок, проведенный к середине противоположной стороны. В принципе, эти два отрезка могут совпасть друг с другом, и тогда их длины равны. Рассмотрим случай, когда медиана и высота не совпадают:

Обозначим буквой М середину АС, тогда ВМ – медиана. Высоту обозначим как ВН. В результате у нас образуется ∆МВН, причем угол на пересечении ВН и АC(BHM) равен 90°. В этом треуг-ке медиана оказывается гипотенузой, а высота – катетом прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то и МВ длиннее ВН.

 

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Особый интерес представляет прямоугольный треуг-к, у которого один из углов равен 30°:

Несложно вычислить его второй угол. Он будет равен 60°:

Оказывается, у данного треуг-ка катет, лежащий против угла в 30° (ВС), вдвое меньше гипотенузы. Докажем это утверждение. Для это приложим к ∆АВС другой, равный ему ∆АСD, получив, по сути, его зеркальное отображение:

Так как ∠В = 60°, то и ∠D = 60°. Величина угла ∠ВАD равна сумме углов ∠ВАС и ∠САD:

В итоге получается, что в ∆АВD каждый из углов 60°. Это означает, что он является равносторонним, то есть его стороны равны. В частности

Именно это и необходимо было доказать. Аналогично с помощью такого же построения можно доказать обратное утверждение – у прямоугольного треуг-ка, в котором гипотенуза вдвое длиннее одного из катетов, острый угол (тот самый, который лежит против этого катета) равен 30°.

 

Задание. В треуг-ке СMH угол С – прямой. Внешний угол при вершине M составляет 120°. Известно, что сумма МН и МС составляет 18 см. Чему равны МН и МC?

Решение. Выполним построение треугольника согласно указанным условиям:

Внешний угол треугольника равен сумме тех 2 углов, которые не смежны с ним. То есть

Итак, рассматриваемый нами треуг-к имеет острый угол, равный 30°. Из этого следует, что катет МС вдвое короче гипотенузы МН:

 

Задание: У равнобедренного треуг-ка ECB основанием является EC. Известно, что ∠В = 120°. Высота, опущенная из точки Сна боковую сторону ЕВ, равна 9 см. Чему равна длина основания?

Решение.

Обозначим высоту как СН. Обратите внимание, что в данном случае высота падает не на сам отрезок ЕВ, а на его продолжение. Эта особенность характерна для всех тупоугольных треуг-ков.

Изучим ∆ЕВС. С одной стороны, он равнобедренный. Значит, углы при его основании равны:

Но в сумме все углы треугольника дают 180°. Это позволяет найти углы при его основании:

Итак, углы при основании треуг-ка равны 30°. Теперь внимательно посмотрим на другой треуг-к – ЕНС. С одной стороны, он является прямоугольным, ведь ∠ЕНС = 90°. С другой стороны, мы только что вычислили, что один из его острых углов, ∠НЕС, равен 30°. Это значит, что катет НС вдвое должен быть вдвое короче гипотенузы ЕС:

 

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ранее мы доказали три признака равенства треуг-ков. Зная их, можно составить особые признаки равенства прямоугольных треугольников.

Пусть у двух треуг-ков равны катеты. Но угол между катетами всегда равен 90°. Но если у треуг-ков совпадают две стороны и угол между ними, то они равны друг другу (по первому признаку). Поэтому можно сформулировать такую теорему:

Треуг-ки окажутся равными и в том случае, если у них одинаковы гипотенуза и один из острых углов. Ведь тогда у них будут одинаковы сторона (гипотенуза) и прилегающие к ней углы (прямой и острый угол).

Наконец, есть ещё один признак – по одинаковым катету и гипотенузе.

Последняя теорема нуждается в доказательстве. Пусть есть ∆АВС и ∆А1В1С1, у которых прямыми являются∠С и ∠С1, при этом равны гипотенузы (АВ = А1В1) и одни из катетов, например, ВС = В1С1. Наложим ∆А1В1С1 на ∆АBС так, чтобы совпали вершины С, а также стороны СВ и СА наложились на лучи С1В1 и С1А1. Это можно сделать, так как углы С и С1 равны друг другу.

Очевидно, что при этом также совпадут и точки В и В1, ведь ВС = В1С1. А что будет с точками А и А1, могут ли они не совпасть? Предположим, что это так, тогда картинка будет выглядеть так:

Рассмотрим получившийся треуг-к АА1В. Он является равнобедренным, так как гипотенузы АВ и А1В1 равны. Однако угол ∠ВАА1 – тупой, ведь он является смежным с острым углом ∠САВ. Может ли существовать равнобедренный треуг-к, у которого угол при основании тупой? Не может, ведь тогда и второй его угол при основании был бы тупым, и их сумма оказалась бы больше 180°. Получившееся противоречие означает, что исходная предпосылка суждения, согласно которой точки А и А1 могут не совпасть, ошибочна. Следовательно, они совпадают. Получается, что можно так наложить треуг-ки АВС и А1В1С1 друг на друга, что все их вершины совпадают. Но это и означает, что треуг-ки равны.

 

Задание. В равнобедренном треуг-ке из вершин, лежащих в основании, опущены высоты на противоположные стороны. Докажите, что они равны друг другу.

Решение. Сначала построим рисунок. Традиционно обозначим треуг-к как АВС, причем АС будет его основанием. Высоты обозначим как CD и АЕ:

Нам требуется показать, что СD = AE. Видно, что у нас есть два треуг-ка, ∆АСE и ∆АСD, которые кажутся равными. Докажем, что они действительно равны. С одной стороны, оба треуг-ка являются прямоугольными, ведь АЕ и СD – это высоты:

ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. В итоге получаем, что у двух треуг-ков равны как гипотенузы, так и один из острых углов. Следовательно, ∆АDCи ∆АЕС равны. Но из этого следует, что у них одинаковы катеты DCи АЕ, чье равенство как раз необходимо доказать.

 

Задание. Треуг-к АВС – равнобедренный, с основанием АС. Высоты СDи АЕ пересекаются в точке М. Известно, что ∠АМС = 140°. Вычислите углы треуг-ка АВС.

Решение. Данная задача во многом повторяет предыдущую, поэтому мы используем картинку из неё:

В предыдущей задаче мы уже доказали, что ∆ADC = ∆AEC. Из этого равенства следует, что АD = ЕС. Теперь рассмотрим ∆АDM и ∆СЕМ. Они оба являются прямоугольными, ведь

У них есть одинаковые катеты: АD = ЕС. Также у треуг-ков есть одинаковые острые углы, это ∠DMAи ∠ЕМС (они равны, так как являются вертикальными). Если у двух прямоугольных треуг-ков совпадает один острый угол, то должен совпадать и второй, ведь их сумма постоянна и составляет 90°. Получается, что ∠DAM = ∠ECM.

В итоге у двух прямоугольных треуг-ков, ∆DMA и ∆ЕМС, равны катеты и прилегающий к ним острый угол. Значит, ∆DMA = ∆EMC. Но тогда АМ = МС. Получается, что ∆МАС является равнобедренным, и углы при его основании равны:

∠MAC = ∠MCA

Найдем эти углы равнобедренного треугольника, записав сумму углов ∆МАС:

Следующий шаг – находим угол ∠DAM. Сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, поэтому запишем равенство:

Для наглядности отметим все найденные нами углы на рисунке:

 

Задание. В ∆КЕН известны два угла: ∠К = 55° и ∠Е = 67°. В ∆КЕН проведены высоты ЕР и КТ. Чему равен угол ∠КМЕ?

Решение: Как всегда, начинаем с построения:

У нас есть два прямоугольных треуг-ка, у которых известен один из острых углов. Это ∆КРЕ и ∆КТЕ. Но если известен один из острых углов, то можно найти и второй, ведь их сумма составляет 90°. Для ∆РКЕ можно записать равенство:

Теперь в ∆КМЕ нам известны сразу два угла, ∠ТКЕ и ∠КЕР. Значит, можно найти и третий угол, ведь их сумма известна (она составляет 180°):

Ответ: 122°.

 

Задание. На сторонах луча О отмечены точки А и В, причем эти точки равноудалены от О. Через А и В проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла. Эти прямые пересекаются в точке С. Докажите, что ОС – это биссектриса угла О.

Решение. Построим картинку по условию задачи:

Попробуем показать, что ∆ОАС = ∆ОСВ. Оба эти треуг-ка являются прямоугольными. Гипотенуза у них общая – это ОС. Также у них есть одинаковые катеты, ведь ОА = ОВ (так как А и В равноудалены от О). Получаем, что у треуг-ков ОАС и ОСВ совпадают гипотенуза и один из катетов. Этого достаточно для того, чтобы считать треуг-ки равными.

Но если ∆ОАС = ∆ОСВ, то ∠АОС = ∠СОВ. Получается, что ОС разбивает луч АОВ на два равных угла. А это как раз и значит, что ОС является биссектрисой.

Однако полностью задачу мы ещё не решили. Обратите внимание, что в условии сказано, что через А и В проходят прямые, перпендикулярные сторонам угла. На нашем рисунке АС⊥ОА и ВС⊥ОВ. Но ведь можно выполнить построение и иначе, когда АС⊥ОВ, а ВС⊥ОА. Тогда рисунок будет выглядеть значительно сложнее:

Здесь буквами D и E обозначены точки пересечения перпендикулярных прямых и сторон угла. Нам снова надо доказать, что ∠АОС = ∠СОВ. Заметим, что АВ – это основание равнобедренного треуг-ка ОАВ (ведь ОА = ОВ). Значит, ∠ОАВ = ∠ОВА (углы при основании). На следующем шаге сравним ∆ADB и ∆АЕВ. Они прямоугольные, а гипотенуза АВ у них общая. Только что мы выяснили, что у них совпадает и один из острых углов (∠ОАВ = ∠ОВА). На основании этого можно утверждать, что ∆АЕВ = ∆АDВ.

Из этого равенства следует, что AD = EB. Далее сравним отрезки ОD и ОЕ. Для них можно записать соотношения:

Но АО = ОВ (по условию), а AD = EB. Отсюда следует, что и ОD = ОЕ.

Теперь мы можем рассмотреть ∆DOCи ∆СОВ. У них равны катеты OD и ОЕ, а гипотенуза ОС является общей. Значит, треуг-ки равны. Но тогда ∠АОС = ∠СОВ, а именно этот факт нам и надо доказать.

 

Понятие расстояния между точкой и прямой

Ранее мы принимали за расстояние между двумя точками длину отрезка, соединяющего их. То есть утверждения «отрезок НВ равен 5 см» и «расстояние между точками Н и В равно 5 см» эквиваленты друг другу. Однако в геометрии расстояние можно определить и между точкой и прямой.

Рассмотрим некоторую прямую b и произвольную точку А, не лежащую на ней. Опустим из точки перпендикуляр на прямую, и точку их пересечения обозначим как Н. Также отметим на прямой точку М, не совпадающую с Н, и соединим ее с А:

В результате мы получаем прямоугольный треуг-к АНМ. Так как АМ – гипотенуза, то она длиннее катета АН:

AM > AH

Прямую АМ называют наклонной к прямой, а АН – это перпендикуляр. Получаем, что перпендикуляр из точки всегда короче, чем наклонная. Именно длину перпендикуляра называют расстоянием между точкой и прямой. Другими словами, расстояние между прямой и точкой – это наименьшая возможная длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой.

 

Задание. Докажите, что середина основания р-бедр. треуг-ка равноудалена от боковых сторон треугольника.

Решение. Обозначим вершины треуг-ка буквами А, В и С, причем АС – основание. Буквой Н обозначим середину АС. Естественно, что АН = НС. Теперь опустим из Н перпендикуляры на стороны АВ и ВС, которые обозначим как НМ и НЕ:

Нам необходимо доказать, что НМ = НЕ. Для этого сравним ∆АМН и ∆НЕС. Они прямоугольные. Их гипотенузы равны, ведь АН = НС. Также ∠А = ∠С, ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. Значит, ∆АМН и ∆НЕС равны по равны по равному острому углу и гипотенузе. А из равенства треуг-ков следует, что МН = НЕ.

 

Задание. Докажите, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через середину этого отрезка.

Решение. Обозначим отрезок как АС, а его середину буквой Н. Опустим из А и С перпендикуляры АР и СМ на прямую, проходящую через Н:

Требуется доказать, что АР = СМ. Рассмотрим ∆АНР и ∆МНС. Они прямоугольные, при этом АН = НС (по условию). Ясно, что ∠АНР = ∠МНС, ведь они являются вертикальными. Если у прямоугольных треуг-ков равны гипотенуза и один из острых углов, то такие треуг-ки равны, то есть ∆АНР = ∆МНС. Из этого следует, что АР = СМ.

 

Расстояние между параллельными прямыми

Построим пару параллельных прямых. Далее из одной точки, лежащей на первой прямой, опустим перпендикуляр на вторую прямую. Длина этого перпендикуляра будет считаться расстоянием между параллельными прямыми:

Возникает логичный вопрос – а зависит ли расстояние между параллельными прямыми от выбора точки, из которой опускается перпендикуляр? Естественно, не зависит, но это надо доказать. Пусть есть прямые а и b, причем а||b. Выберем на а произвольные точки Р и К и опустим из них перпендикуляры РМ и КС на b. Докажем, что РМ = КС.

Сначала заметим, КС перпендикулярно не только b, но и а, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой параллельной прямой. Теперь рассмотрим ∆РМС и ∆РКС. Они прямоугольные, у них есть общая гипотенуза РС. Заметим, что ∠РКС = ∠РСМ, ведь это накрест лежащие углы. Получается, что ∆РКС = ∆РМС. Значит, РМ = КС, что и необходимо доказать.

 

Задание. Прямая АВ параллельна прямой СD. Известно, что AD = 6 см, ADC = 30°. Чему равна расстояние между АВ и СD?

Решение. Выполним построение:

Опустим из А перпендикуляр на СD, который пересечет прямую в точке Н. Расстояние между прямыми будет равно длине АН, а ее можно найти из ∆АНD. Он является прямоугольным, а один из его острых углов (∠АDH) равен 30°. Это значит, что катет АН вдвое короче, чем гипотенуза АD:

AH = AD:2 = 6:2 = 3 см

Ответ: 3 см.

«Домашка» делается самостоятельно и легко, когда урок усвоен. В этом вам помогут онлайн-курсы.

Перейти

Построение треугольника по трем элементам

Рассмотрим важную практическую задачу. Нам известны три признака равенства треуг-ка, каждый из которых требует, чтобы у треуг-ков совпадали три элемента. Другими словами, часто по трем элементами можно однозначно построить треуг-к. Рассмотрим, как это делается.

Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Например, надо построить треуг-к со сторонами 6 и 4 см, а угол между ними равен 45°. В этом случае сначала надо построить угол, а потом отложить на его лучах отрезки длиной 4 и 6 см. Далее концы этих отрезков необходимо соединить:

Очень легко построение треугольника по стороне и прилегающей к ней углам. Пусть сторона треугольника равна 10 см, а прилегающие к ней углы должны равняться 20° и 50°. В этом случае на первом шаге следует построить отрезок длиной 10 см. Далее от одной из его вершин надо отложить луч, образующий угол в 50° с отрезком(естественно, можно начать и с угла 20°). На последнем шаге из второй вершины откладывается луч, образующий угол 20°. Точка пересечения этих двух лучей и будет третьей вершиной треуг-ка:

Построение треугольника по трем сторонам вызывает у школьников куда большие затруднения. Пусть нужно построить треуг-к со сторонами 10, 8 и 5 см. Сначала откладывается отрезок, равный одной из сторон, например, 10 см. Далее. Из концов этого отрезка проводятся окружности, чьи радиусы равны 2 оставшимся сторонам. Если длины сторон удовлетворяют неравенству треуг-ка, то окружности пересекутся в двух точках. Осталось соединить концы первого отрезка с любой из этих точек, и получится требуемый треуг-к:

Попробуйте самостоятельно использовать этот метод для сторон, которые не удовлетворяют неравенству треуг-ка, например, для 3, 4 и 8 см. Если вы всё сделаете правильно, то окружности просто не пересекутся, и построить треуг-к не удастся.

В трех рассмотренных примерах ответ задачи был единственным. Однако иногда существует несколько неравных друг другу треуг-ка, у которых равны 3 элемента. Для примера попытаемся построить треуг-к РЕН, у которого РЕ = 10 см, РН = 7 см, ∠Е = 30°. Сначала построим отрезок РЕ. Далее от одной из его вершин, например от Е, отложим угол 30°. На следующем шаге строим окружность радиусом 7 см, центр которой располагается в точке Р. Она пересечет угол в двух точках, Н1 и Н2. В итоге получается, что есть сразу два треуг-ка, удовлетворяющие условию задачи – РЕН1 и РЕН2. Они явно не равны друг другу, так как РЕН2 является тупоугольным, а РЕН1 – остроугольным треуг-ком:

Итак, мы узнали много нового о прямоугольных треуг-ках, научились определять расстояние между прямой и точкой и между двумя параллельными прямыми, а также узнали, как строить треуг-ки по 3 элементам. Эти знания помогут в дальнейшем освоении геометрии.

 

прямоугольных треугольников

Прямоугольный треугольник (также называемый прямоугольным треугольником )
- это треугольник с прямым углом (90 °) в нем.

Маленький квадрат в углу говорит нам это прямоугольный треугольник
(я тоже ставил 90 °, но вам это не нужно!)

Прямоугольный треугольник - одна из самых полезных фигур во всей математике!
(используется, например, в теореме Пифагора и синусе, косинусе и касательной).

Попробуйте сами (перетащите точки):

Два типа

Есть два типа прямоугольного треугольника:

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Один прямой угол
Два других равны углов всегда 45 °
Две равные стороны

Скален прямоугольный треугольник

Один прямой угол
Два других неравных углов
Нет равных сторон

Пример: треугольник 3,4,5

"Треугольник 3,4,5" имеет прямой угол.

(Нарисуйте один, если вам когда-нибудь понадобится прямой угол!)

У него нет равных сторон, поэтому он представляет собой прямоугольный треугольник разносторонний

И, как и у всех треугольников, сумма трех углов всегда составляет 180 °.

.

Нахождение угла в прямоугольном треугольнике

Угол с любых двух сторон

Мы можем найти неизвестный угол в прямоугольном треугольнике, если нам известны длины двух его сторон .

Пример

Лестница прислонена к стене, как показано.

Какой угол между лестницей и стеной?

Ответ - использовать синус, косинус или тангенс!

Но какой использовать? У нас есть специальная фраза «SOHCAHTOA», чтобы помочь нам, и мы используем ее так:

Шаг 1 : найдите имен двух известных нам сторон

  • Соседний примыкает к углу,
  • Напротив напротив угла
  • , а самая длинная сторона - Гипотенуза .

Пример: в нашем примере лестницы нам известна длина:

  • сторона Напротив угол «х», который равен 2,5
  • самая длинная сторона, называемая Гипотенуза , что составляет 5

Шаг 2 : теперь используйте первые буквы этих двух сторон ( O pposite и H ypotenuse) и фразу «SOHCAHTOA», чтобы найти, какой из синуса, косинуса или тангенса использовать:

SOH...

S ine: sin (θ) = O pposite / H ypotenuse

... CAH ...

C осин: cos (θ) = A djacent / H ypotenuse

... TOA

T Угол: tan (θ) = O pposite / A djacent

В нашем примере это O pposite и H ypotenuse, что дает нам « SOH cahtoa», что говорит нам, что нам нужно использовать Sine .

Шаг 3 : Поместите наши значения в уравнение синуса:

S дюйм (x) = O pposite / H ypotenuse = 2,5 / 5 = 0,5

Шаг 4 : Теперь решите это уравнение!

грех (х) = 0,5

Далее (поверьте мне на данный момент) мы можем преобразовать это в это:

х = грех -1 (0,5)

Затем возьмите наш калькулятор, введите 0,5 и используйте кнопку sin -1 , чтобы получить ответ:

х = 30 °

И у нас есть ответ!

Но что означает sin -1 …?

Итак, функция синуса «sin» принимает угол и дает нам соотношение «противоположность / гипотенуза»,

Но sin -1 (так называемый «обратный синус») идет другим путем...
... это принимает соотношение "противоположная сторона / гипотенуза" и дает нам угол.

Пример:

  • Синус Функция: sin ( 30 ° ) = 0,5
  • Функция обратной синусоиды: sin -1 ( 0,5 ) = 30 °

На калькуляторе нажмите одну из следующих клавиш (в зависимости от
от вашей марки калькулятора): либо «2ndF sin», либо «shift sin».

На своем калькуляторе попробуйте использовать sin и sin -1 , чтобы увидеть, какие результаты вы получите!

Также попробуйте cos и cos -1 . И tan и tan -1 .
Давай, попробуй.

Шаг за шагом

Вот четыре шага, которые нам нужно выполнить:

  • Шаг 1 Найдите две известные нам стороны - противоположную, смежную и гипотенузу.
  • Шаг 2 Используйте SOHCAHTOA, чтобы решить, какой из Sine, Cosine или Tangent использовать в этом вопросе.
  • Шаг 3 Для синуса вычислить противоположное / гипотенузу, для косинуса вычислить смежное / гипотенузу или для касательного вычислить противоположное / смежное.
  • Шаг 4 Найдите угол на вашем калькуляторе, используя один из следующих значений: sin -1 , cos -1 или tan -1

Примеры

Давайте посмотрим на еще пару примеров:

Пример

Найдите угол подъема плоскости из точки А на земле.


  • Step 1 Две известные нам стороны - это O pposite (300) и A djacent (400).
  • Шаг 2 SOHCAH TOA сообщает нам, что мы должны использовать T angent.
  • Шаг 3 Вычислить Противоположный / Соседний = 300/400 = 0,75
  • Шаг 4 Найдите угол с помощью калькулятора, используя tan -1

Tan x ° = напротив / рядом = 300/400 = 0.75

tan -1 из 0,75 = 36,9 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

Если не указано иное, углы обычно округляются до одного десятичного знака.

Пример

Найдите величину угла a °


  • Step 1 Две известные нам стороны: A djacent (6750) и H ypotenuse (8100).
  • Step 2 SOH CAH TOA сообщает нам, что мы должны использовать осин C .
  • Шаг 3 Вычислить прилегающее / гипотенузу = 6,750 / 8,100 = 0,8333
  • Шаг 4 Найдите угол с помощью калькулятора, используя cos -1 из 0,8333:

cos a ° = 6,750 / 8,100 = 0,8333

cos -1 из 0,8333 = 33,6 ° (с точностью до 1 знака после запятой)

.

Что такое прямоугольник? (Определение, типы и свойства) // Tutors.com

Что такое прямоугольный треугольник? (Определение и свойства)


Определение Свойства Построить Теорема Пифагора Теорема о высоте

Что вы узнаете:

После просмотра видео, просмотра изображений и прочтения урока вы сможете:

  • Определите прямоугольный треугольник
  • Понимать идентифицирующее свойство прямоугольных треугольников
  • Докажите теорему Пифагора
  • Докажите теорему о высоте прямоугольного треугольника

Определение прямоугольного треугольника

Все треугольники имеют внутренние углы в сумме 180 °.Когда один из этих внутренних углов составляет 90 °, это прямой угол , а треугольник - это прямоугольный треугольник . На рисунке прямоугольных треугольников внутренний угол 90 ° обозначен небольшим квадратом □ в вершине.

Термин «правый» треугольник может ввести вас в заблуждение, думая, что существуют «левые» или «неправильные» треугольники; они не. «Правый» относится к латинскому слову rectus , означающему «вертикально».

Гипотенуза и стороны прямоугольного треугольника

Мы уже знаем, что квадратная вершина прямоугольного треугольника является прямым углом.Напротив него находится гипотенуза треугольника , самая длинная из трех сторон, обычно обозначаемая буквой c.

Два других угла в прямоугольном треугольнике составляют 90 °; они дополняют друг друга. Стороны напротив дополнительных углов являются сторонами треугольника и обычно обозначаются буквами a и b.

Свойства прямоугольных треугольников

Внутренний угол прямоугольного треугольника должен составлять ровно 90 °. Он может быть разносторонним или равнобедренным, но никогда не равносторонним.

Построение прямоугольного треугольника

Из двух сырых ниток спагетти сделайте свой собственный прямоугольный треугольник. Оставьте одного в покое; вторую прядь разорвите на две неравные длины. Поместите две короткие нити a и b так, чтобы они встретились в двух конечных точках и образовали угол 90 °. Уложите третью нить c вниз, чтобы пересечь две конечные точки a и b, образуя прямоугольный треугольник.

Вы можете построить более точный прямоугольный треугольник, используя миллиметровую бумагу и линейку. Нарисуйте отрезок (любой желаемой длины) вдоль линий миллиметровой бумаги.Следуя линиям, сделайте второй отрезок любой желаемой длины точно под углом 90 ° к первому отрезку. Если вы соедините две конечные точки этих сегментов линии, вы получите прямоугольный треугольник.

Geometry использует символы в качестве сокращений. Вот что важно знать:

∼ означает «похожий»

∠ означает «угол»

△ означает «треугольник»

Теорема Пифагора

Греческий математик Пифагор получил признание, но другие цивилизации знали об этой теореме.Теорема Пифагора описывает отношение между длинами катетов a и b любого прямоугольного треугольника и длиной гипотенузы c:

Сумма квадратов катетов a и b равна квадрату гипотенузы c, или

Существуют тысячи доказательств этой теоремы, в том числе одно, сделанное президентом США Джеймсом Гарфилдом (до того, как он стал президентом). Одно доказательство легко сделать с миллиметровой бумагой, линейкой, карандашом и ножницами.

Постройте △ ABC с участками a и b слева и снизу и гипотенузой c справа вверху.Катет a противоположен A, катет b противоположен B, а гипотенуза c противоположна прямому углу C.

Пусть длина a = 3, b = 4 и гипотенуза c = 5.

Постройте квадрат, используя ногу a в качестве правой стороны квадрата. Это будет 9 квадратных единиц (а2). Постройте квадрат, используя ногу b в качестве верхней стороны его квадрата, так что это будет 16 квадратных единиц (b2). Вырежьте еще один квадрат 5 x 5 и совместите его с гипотенузой c, так что квадрат будет c2.

Подумайте: что такое 9 квадратных единиц + 16 квадратных единиц? Это 25 квадратных единиц, площадь c2.

площадь = а × а = а2

площадь = b × b =

.

Калькулятор прямоугольного треугольника | Найдите a, b, c и угол

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Есть несколько методов получения длин сторон прямоугольного треугольника. В зависимости от того, что дано, вы можете использовать разные отношения или законы, чтобы найти недостающую сторону:

  1. Учитывая две стороны

Если вы знаете две другие стороны прямоугольного треугольника, это самый простой вариант; все, что вам нужно сделать, это применить теорему Пифагора:

a² + b² = c²

  • , если отрезок a является отсутствующей стороной, преобразовать уравнение к форме, когда a находится на одной стороне, и извлечь квадратный корень:

    a = √ (c² - b²)

  • если нога b неизвестна, то

    b = √ (c² - a²)

  • для гипотенузы c отсутствует, формула

    c = √ (a² + b²)

  1. Заданный угол и гипотенуза

Примените закон синусов или тригонометрии, чтобы найти длины сторон прямоугольного треугольника:

  1. Данный угол и одна ножка

Найдите недостающую ногу с помощью тригонометрических функций:

  • a = b * tan (α)

  • b = a * tan (β)

  1. Заданная площадь и одна нога

Как мы помним из основной формулы площади треугольника, мы можем вычислить площадь, умножив высоту треугольника на основание и разделив результат на два.Прямоугольный треугольник - это частный случай разностороннего треугольника, в котором одна ножка является высотой, а вторая ножка является основанием, поэтому уравнение упрощается до:

площадь = a * b / 2

Например, если мы знаем только площадь прямоугольного треугольника и длину участка a , мы можем вывести уравнение для других сторон:

  • b = 2 * площадь / а
  • c = √ (a² + (2 * площадь / a) ²)
.

Как определить, конгруэнтны ли треугольники

Два треугольника равны, если они имеют:

  • точно такие же три стороны и
  • точно такие же три угла.

Но нам не обязательно знать все три стороны и все три угла ... обычно достаточно трех из шести .

Существует пять способов определить, совпадают ли два треугольника: SSS , SAS , ASA , AAS и HL .

1. SSS (сбоку, сбоку, сбоку)

SSS означает «сторона, сторона, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, все три стороны которых равны.

Например:

соответствует:

(Подробнее см. «Решение треугольников SSS»)

Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, треугольники конгруэнтны.

2. SAS (сбоку, угол, сбоку)

SAS означает «сторона, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, у которых, как мы знаем, две стороны и включенный угол равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников SAS»)

Если две стороны и внутренний угол одного треугольника равны соответствующим сторонам и углу другого треугольника, треугольники конгруэнтны.

3. ASA (угол, сторона, угол)

ASA означает «угол, сторона, угол» и означает, что у нас есть два треугольника, из которых мы знаем, что два угла и включенная сторона равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников ASA»)

Если два угла и включенная сторона одного треугольника равны соответствующим углам и стороне другого треугольника, треугольники совпадают.

4. AAS (угол, угол, сторона)

AAS означает «угол, угол, сторона» и означает, что у нас есть два треугольника, где, как мы знаем, два угла и не включенная сторона равны.

Например:

равно соответствует:

(Дополнительные сведения см. В разделе «Решение треугольников AAS»)

Если два угла и сторона без включения одного треугольника равны соответствующим углам и стороне другого треугольника, треугольники совпадают.

5. HL (гипотенуза, ножка)

Это относится только к прямоугольным треугольникам!

или

HL означает « H ypotenuse, L eg» (самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется «гипотенузой», две другие стороны называются «катетами»)

Это означает, что у нас есть два прямоугольных треугольника с

  • одинаковая длина гипотенузы и
  • : той же длины для одной из двух других ног .

Не имеет значения, на какой ноге треугольники можно вращать.

Например:

равно соответствует:

(см. Теорему Пифагора, чтобы узнать больше)

Если гипотенуза и один катет одного прямоугольного треугольника равны соответствующей гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, эти два треугольника равны.

Внимание! Не используйте "AAA"

AAA означает, что нам даны все три угла треугольника, но нет сторон.

Этой информации недостаточно, чтобы решить, конгруэнтны ли два треугольника!

Поскольку треугольники могут иметь одинаковые углы, но иметь разных размеров :

соответствует , а не :

Не зная хотя бы одной стороны, мы не можем быть уверены, конгруэнтны ли два треугольника.

.

Поиск стороны в прямоугольном треугольнике

Найдите сторону, когда мы знаем другую сторону и угол

Мы можем найти неизвестную сторону в прямоугольном треугольнике, если знаем:

  • одной длины и
  • один угол (то есть кроме прямого).

Пример: Глубина до дна

Судно стоит на якоре на морском дне.

Мы знаем:

  • длина кабеля (30 м) и
  • угол, под которым кабель образует дно

Значит, мы сможем найти глубину!

Но как?

Ответ - использовать синус, косинус или тангенс !

Но какой?

Какой из синус, косинус или тангенс использовать?

Чтобы узнать какие, сначала даем имен сторонам:

  • Соседний находится рядом (рядом) с углом,
  • Напротив напротив угла,
  • , а самая длинная сторона - Гипотенуза .

Теперь для стороны, которую мы уже знаем и стороны , которую мы пытаемся найти , мы используем первые буквы их имен и фразу "SOHCAHTOA", чтобы решить, какая функция:

SOH ...

S In: sin (θ) = O pposite / H ypotenuse

... CAH ...

C осин: cos (θ) = A djacent / H ypotenuse

...TOA

T angent: tan (θ) = O pposite / A djacent

Как это:


Пример: Глубина до дна (продолжение)

Найдите имен двух сторон, над которыми мы работаем:

  • известная нам сторона - это гипотенуза
  • сторона, которую мы хотим найти, - это Угол, противоположный (убедитесь, что буква d находится напротив угла 39 °)

Теперь используйте первые буквы этих двух сторон ( O, pposite и H ypotenuse) и фразу «SOHCAHTOA», которая дает нам « SOH cahtoa», которая говорит нам, что нам нужно использовать Sine :

S In: sin (θ) = O pposite / H ypotenuse

Теперь введите известные нам значения:

sin (39 °) = d / 30

И решите это уравнение!

Но как вычислить sin (39 °) ...?

Воспользуйтесь калькулятором.
Введите 39 и затем используйте клавишу «грех».
Это просто!

sin (39 °) = 0,6293 ...

Итак, теперь у нас:

0,6293 ... = d / 30

Теперь немного переставляем, и решаем:

Начать с: 0,6293 ... = d / 30

Поменять местами стороны: d / 30 = 0.6293 ...

Умножьте обе стороны на 30: d = 0,6293 ... x 30

Вычислить: d = 18,88 до 2 знаков после запятой

Глубина залегания анкерного кольца под скважиной 18,88 м

Шаг за шагом

Вот четыре шага, которые необходимо выполнить:

  • Шаг 1 Найдите имена двух сторон, которые мы используем, одну из которых мы пытаемся найти, а другую мы уже знаем, а именно: Противоположность, Смежная и Гипотенуза.
  • Шаг 2 Используйте SOHCAHTOA, чтобы решить, какой из синуса, косинуса или тангенса использовать в этом вопросе.
  • Шаг 3 Для синуса запишите Противоположный / Гипотенуза, для косинуса запишите Соседний / Гипотенуза или для Касательного запишите Противоположный / Соседний. Одно из значений - неизвестная длина.
  • Шаг 4 Решите, используя калькулятор и свои навыки алгебры.

Примеры

Рассмотрим еще несколько примеров:

Пример: найти высоту плоскости.

Мы знаем, что расстояние до плоскости 1000
А угол 60 °

Какая высота у самолета?

Осторожно! Угол 60 °, находится вверху, поэтому сторона «h» равна , примыкает к углу !

  • Step 1 Мы используем две стороны: A djacent (h) и H ypotenuse (1000).
  • Step 2 SOH CAH TOA говорит нам использовать осин C .

Начать с: cos 60 ° = h / 1000

Замена: ч / 1000 = cos 60 °

Рассчитать cos 60 °: ч / 1000 = 0,5

Умножить обе стороны на 1000: h = 0,5 x 1000

ч = 500

Высота самолета = 500 метров

Пример: найти длину стороны y :

  • Step 1 Мы используем две стороны: O pposite (y)
    и A djacent (7).
  • Шаг 2 SOHCAH TOA говорит нам использовать угол T .

Начать с: tan 53 ° = y / 7

Поменять местами: y / 7 = tan 53 °

Умножаем обе стороны на 7: y = 7 tan 53 °

Вычислить: y = 7 x 1.32704 ...

y = 9,29 (с точностью до 2 знаков после запятой)

Сторона y = 9,29

Пример: радиомачта

Есть мачта высотой 70 метров.

Трос идет к вершине мачты под углом 68 °.

Какова длина провода?

  • Step 1 Мы используем две стороны: O pposite (70) и H ypotenuse (w).
  • Шаг 2 SOH CAHTOA говорит нам использовать S ine.
  • Шаг 3 Запишите:

    sin 68 ° = 70 / w

Внизу (знаменателе) дроби указана неизвестная длина!

Таким образом, нам нужно использовать несколько иной подход при решении:

Начать с: sin 68 ° = 70 / w

Умножаем обе стороны на w: w × (sin 68 °) = 70

Разделим обе части на "sin 68 °": w = 70 / (sin 68 °)

Вычислить: w = 70/0.9271 ...

w = 75,5 м (на 1 место)

Длина провода = 75,5 м

.

Смотрите также

ООО ЛАНДЕФ © 2009 – 2020
105187, Москва, ул. Вольная д. 39, 4 этаж.
Карта сайта, XML.