ABLOY-FIRE.RU - Надежная автоматика для противопожарных дверей

Abloy
Главная
Продукция
Решения для одностворчатых дверей
Решения для двустворчатых дверей
Где купить


Новости

21.05.07 - Итоги семинара "Системы автоматического закрывания противопожарных дверей Abloy"

10.05.07 - Первый в России семинар: "Системы автоматического закрывания противопожарных дверей Abloy"

30.04.07 - Открыт новый сайт "Надежная автоматика для противопожарных дверей Abloy"

Свойства египетского треугольника


Египетский треугольник

О египетском треугольнике и его свойствах хорошо известно ещё с древних времён. Эта фигура широко применялась в строительстве для разметки и построения правильных углов.

История египетского треугольника

Создателем этой геометрической конструкции является один из величайших математиков древности Пифагор. Именно благодаря его математическим изысканиям мы можем в полной мере использовать все свойства данного геометрического построения в строительстве.

Важно! Принято считать, что толчком к открытию этой геометрической фигуры послужило путешествие Пифагора в Африку, где он увидел египетские пирамиды. Возможно, именно они стали прообразом данной конструкции.

Можно предположить, что математические навыки позволили Пифагору заметить закономерность в формах строения. Дальнейшее развитие событий можно легко представить. Базовый анализ и построение выводов создали одну из самых значимых фигур в истории. Скорее всего, в качестве прообраза была выбрана именно пирамида Хеопса из-за своих практически совершенных пропорций.

Египетский треугольник в строительстве

Свойства этой уникальной геометрической конструкции заключаются в том, что её построение без применения каких-либо инструментов позволяет построить дом с правильными во всех соотношениях углами.

Важно! Конечно, в идеале лучшим вариантом будет использование транспортира или угольника.

Итак, качества египетского треугольника позволяют делать правильные во всех соотношениях углы. Стороны конструкции имеют следующее соотношение друг к другу:

  1. 5,
  2. 4,
  3. 3.

Чтобы проверить ту ли фигуру вы начертили, используйте хорошо известную ещё со школьной скамьи Теорему Пифагора.

Внимание! Свойства египетского треугольника таковы, что квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов.

Для лучшего понимания возьмём приведенную выше зависимость и составим небольшой пример. Умножим пять на пять. В результате чего получим гипотенузу равную 25. Вычислим квадраты двух катетов. Они составят 16 и 9. Соответственно их сумма будет двадцать пять.

Именно поэтому свойства египетского треугольника так часто используются в строительстве. Вам достаточно взять заготовку и прочертить прямую линию. Её длина всегда должна быть кратной 5. Затем нужно наметить один край и отмерять от него линию кратную 4, а от второго 3.

Внимание! Длина каждого отрезка составит 4 и 3 см (при минимальных значениях). Пересечение этих прямых образует прямой угол, равняющийся 90 градусам.

Альтернативные способы построить прямой угол на 90 градусов

Как уже упоминалось выше, наилучшим вариантом будет просто взять угольник или транспортир. Эти инструменты позволяют с наименьшими затратами времени и сил добиться нужных пропорций. Главное же свойство египетского треугольника заключается в его универсальности. Фигуру можно построить, не имея в арсенале практически ничего.

Сильно в построении прямого угла помогают простые печатные издания. Возьмите любой журнал или книгу. Дело в том, что в них соотношение сторон всегда составляет ровно 90 градусов. Типографические станки работают очень точно. В противном случае рулон, который заправляется в станок, будет резаться непропорциональными кривыми углами.

Как получить египетский треугольник при помощи верёвки

Свойства этой геометрической фигуры тяжело переоценить. Неудивительно, что инженерами древности было придумано множество способов её образования с использованием минимальных ресурсов.

Одним из самых простых считается метод образования египетского треугольника со всеми его вытекающими свойствами посредством простой верёвки. Возьмите бечёвку и разрежьте её на 12 абсолютно ровных частей. Из них сложите фигуру с пропорциями 3, 4 и 5.

Как построить угол в 45, 30 и 60 градусов

Безусловно, египетский треугольник и его свойства очень полезны при постройке дома. Но без других углов вам обойтись всё-таки не удастся. Чтобы получить угол, равняющийся 45 градусам, возьмите материал рамки или багета. После чего распилите его под углом в сорок пять градусов и состыкуйте половинки друг с другом.

Важно! Для получения нужного наклона вырвите лист бумаги из журнала и согните его. При этом линии изгиба будут проходить через угол. Края должны совпасть.

Как видите, свойства фигуры позволяют гораздо проще и быстрее построить геометрический конструкт. Чтобы добиться соотношения сторон в 60 градусов нужно взять один треугольник на 30º и второй такой же. Обычно подобные пропорции необходимы при создании определённых декоративных элементов.

Внимание! Соотношение сторон на 30º нужно, чтобы сделать шестиугольники. Их свойства востребованы в столярных заготовках.

Итоги

Свойства египетского треугольника широко использовались в строительстве на протяжении почти, что двух с половиной веков. Даже сейчас при недостатке инструментов строители применяют эту открытую ещё Пифагором методику, чтобы добиться ровных прямых углов.

Что такое Египетский треугольник на стройке? В чем его особенность +Фото и Видео

Строительство с применением египетского треугольника древний способ, активно используемый до сих пор современными строителями. Название получил благодаря древнеегипетским сооружениям, хотя известно, что история его начинается задолго до этого периода.

Но, скорее всего, свойства уникальной фигуры не были оценены в те времена, пока не появился Пифагор, сумевший проанализировать и оценить изящные формы фигуры.

Египетский треугольник известен еще с древних времен. Он был и остается популярен в строительстве и архитектуре много веков.

Считается, что создал геометрическую конструкцию великий греческий математик Пифагор Самосский. Благодаря ему сегодня мы можем использовать все свойства геометрической постройки в области строения.

Египетский треугольник в строительстве. Общие сведения

Зарождение идеи

Идея у математика появилась после путешествия в Африку по просьбе Фалеса, который поставил задачу Пифагору изучить математику и астрономию тех мест. В Египте он среди бескрайней пустыни встретил величественные строения, поразившие его размером, изяществом и красотой.

Надо заметить, что более двух с половиной тысяч лет назад пирамиды были несколько другими – огромными, с четкими гранями. Тщательно изучив могущественные постройки, коих было не мало, так как рядом с великанами, стояли храмы поменьше, построенные для детей, жен и других родственных лиц фараона, это натолкнуло его на мысль.

Благодаря своим математическим способностям, Пифагор сумел определить закономерность в формах пирамиды, а умение анализировать и делать выводы привели к созданию одной из самых значимых теорий в истории геометрии.

Из истории

Знали ли в древнем Египте о геометрии и математике? Конечно да. Жизнь египтян была тесно связана с наукой. Они регулярно пользовались знаниями при разметке полей, создании архитектурных шедевров. Даже существовала своя служба землемеров, которые применяли геометрические правила, занимаясь восстановлением границ.

Название треугольник получил благодаря эллинам, которые нередко бывали в Египте в VII-V вв. до н.э. Считается, что прообразом фигуры стала пирамида Хеопса, отличающаяся совершенными пропорциями. Ее место особенное в истории. Если посмотреть поперечное сечение, то можно отметить два треугольника, у которых угол внутри равняется 51о50’.

Строение

Сегодня это строение усеченной формы, приобретенной под воздействием времени, высота явно потерялась. Однако, восстановив ее геометричность, можно сделать вывод, что стороны треугольников равны. Получается в основе заложен золотой прямоугольный треугольник.

Однако, следует рассмотреть другую пирамиду – Хефрена, у которой основа как раз-таки прямоугольный треугольник и где угол наклона боковых граней равен 53о12 с соотношением катетов 4:3. Это уже так называемый священный треугольник. Для египтян такая фигура сопоставлялась с семейным очагом: катет вертикального положения олицетворял мужчину, основание – представительницу прекрасного пола, а гипотенуза – рождение ребенка от обоих.

Стороны пирамиды Хефрена в соотношении равны 3:4:5, что точно соответствует теореме Пифагора. Значит, можно сделать вывод, что строители уже знали об этой теореме, но не могли ее сформулировать. Хотя, в исторических письменах встречаются следы использования египетского треугольника за много веков даже до Египта. До сегодняшнего дня это загадка, как могли такие знания получить древние египтяне. Понимали ли они чем обладают?

Особенность фигуры к тому же в том, что благодаря подобному соотношению, она является простым и первым Героновым треугольником, так как ее стороны и площадь целочисленные.

Обратное доказательство

Как доказать, что треугольник прямоугольный? Нужно порой исходить от обратного, то есть если сумма квадратов обеих сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоугольный, что подтверждает равенство 32х42=52 и значит он действительно прямоугольный.

Таким образом теорема Пифагора стала каноном и фундаментом развития математической науки. Со школьной скамьи каждый ученик знает, что означает выражение «Пифагоровы штаны во все стороны равны».

Интересно, что теорема Пифагора находится в Книге Гиннесса как теорема, обладающая самым большим количеством доказательств, которых примерно 500.

Особенности

Если рассмотреть более детально отличительные особенности египетского треугольника, то можно выделить следующие моменты:

  • все стороны и площадь состоят из целых чисел, как говорилось выше;
  • согласно теории великого математика, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузе;
  • такой фигурой возможно отмерить прямые углы в пространстве. Это используется в процессе строительства до сих пор;
  • не обязательно пользоваться специальными измерительными приборами, подойдут подручные средства, например, веревка.

Место в строительном мире

С древнейших времен египетский треугольник нашел почетное место в архитектуре и строительстве. Конструкция пирамиды отличается тем, что позволяет создавать здание с совершенно правильными углами без каких-либо дополнительных инструментов.

Задача намного облегчается, если использовать транспортир или треугольник. Но, раньше применялись только шнуры и веревке, разделенные на отрезки. Благодаря отметкам на веревке можно было с точностью воссоздать прямоугольную фигуру. Строителям заменяла транспортир и угольник веревка, для чего отмечали узлами на ней 12 частей и складывали треугольник с отрезками 3,4,5. Прямой угол получался без затруднений. Эти знания помогли создать множество сооружений, в том числе пирамиды.

Интересно, что до древнего Египта, таким способом строили в Китае, Вавилоне, Месопотамии.

Свойства египетской треугольной фигуры подчиняются истине – квадрат гипотенузы равен квадратам двух катетов. Эта теорема Пифагора знакома каждому со школьной поры. Например, умножаем 5х5 и получаем гипотенузу равную числу 25. Квадраты обоих катетов равны 16 и 9, что в сумме дает цифру 25.

Благодаря таким свойствам, треугольник нашел применение в строительстве. Можно взять любую деталь, с целью провести линию прямого направления с условием, что ее длина должна быть кратной пяти. После этого заметить один край и прочертить от него линию кратную четырем, а от другого кратную трем. При этом каждый отрезок должен быть длиной минимум четыре и три. Пересекаясь, они образовывают один прямой угол в 90 градусов. Другие углы равны 53,13 и 36,87 градусам.

Какие существуют альтернативные варианты

Как создать прямой угол

Лучшим вариантом смастерить прямой угол является применение угольника или транспортира. Это позволит с минимальными затратами найти необходимые пропорции. Но, основной момент египетского треугольника в его универсальности из-за возможности создать фигуру, не имея под рукой ничего.

В этом деле может пригодиться все, даже печатные издания. Любая книга или даже журнал имеют всегда соотношение сторон, образующее прямой угол. Типографские станки работают всегда точно, чтобы рулон, заправленный в машину резался пропорциональными углами.

Древние инженеры придумывали много способов строительства египетского треугольника и всегда экономили ресурсы.

Поэтому, самым простым и широко применяемым был метод постройки геометрической фигуры с применением обычной веревки. Бралась бечевка и резалась на 12 ровных частей, из которых выкладывалась фигура с пропорциями 3,4 и 5.

Как создать другие углы?

Египетский треугольник в строительном мире нельзя недооценивать. Его свойства однозначно полезны, но без возможности построить углы другого градуса в строительстве невозможно. Чтобы образовался угол в 45 градусов, понадобится рамка или багет, которые распиливаются под углом в 45 градусов и соединяются между собой.

Важно! Чтобы получить необходимый наклон, потребуется позаимствовать бумажный лист из печатного издания и согнуть его. Линии изгиба при этом будут проходить через угол. Края должны быть соединены.

Получить 60 градусов можно с применением двух треугольников по 30 градусов. Чаще всего используются для создания декоративных элементов.

Небольшие хитрости

Египетский треугольник 3х4х5 актуален для маленьких домов. Но, что делать, если дом 12х15?

Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого катеты равняются 12 и 15 м. Гипотенуза находится как квадратный корень из суммы 12х12 и 15х15. В итоге получаем 19,2 м. С помощью чего-либо — веревки, шпагата, бечевки, тросика, военного кабеля, отмеряем 12, 15 и 19,2 м. Делаем узлы на этих местах и ставим жимки.

Затем треугольник нужно растянуть на нужном месте и установить 3 точки опоры, в которые вбить колышки. Четвертую точку можно получить, не трогая концы катетов. Для этого точка прямого угла перекидывается по диагонали и все готово.

Например, есть участок, где требуется прямой угол – для места под кухонный гарнитур, раскладки кафеля и других моментов. Хорошо бы такие вопросы учесть при кладке, но реальность другая и не всегда попадаются ровные стены и прямые углы. Здесь пригодится египетский треугольник с соотношением 3:4:5, либо при необходимости 1,5:2:2,5.

Обязательно учитывается толщина маяков, погрешность, бугры на стенах и т.д. Треугольник рисуется с помощью рулетки и мела. Если разметка небольшая, то можно воспользоваться листом гипсокартона, так как режутся они с правильными углами.

Египетский треугольник широко использовался в строительстве целых 2,5 века. И сегодня иногда приходится применять данную методику, при отсутствии необходимых инструментов, чтобы получить прямые углы. Свойства этой фигуры уникальны, что гарантирует точность в архитектуре и строительстве, без которой не обойтись. С ним легко работать, по форме он гармоничен и красив. До сих пор пытливые умы пытаются разгадать тайну египетского треугольника.

 

Египетский треугольник Пифагора: свойства, углы, стороны

В математике есть определенные каноны, которые явились, так сказать, фундаментом или основанием всего последующего развития современной математики. Одним из этих канонов, по праву можно считать теорему Пифагора.

Кому еще со школьных времен не известна смешная формулировка теоремы Пифагора: "Пифагоровы штаны во все стороны равны". Ну да, правильно это звучит так: "квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов ", но про штаны гораздо лучше запоминается.

Нагляднее всего это видно на треугольнике со сторонами 3-4-5. Но если изучить внимательно использование такого треугольника в древней истории, то можно заметить одну занимательную вещь и называется она ни как по другому, как Египетский треугольник.

Этот самый философ и математик Пифагор Самосский из Греции, именем которого и названа эта теорема, жил примерно 2,5 тысяч лет тому назад. Ну конечно дошедшая до нашего времени биография Пифагора не совсем достоверна, но, тем не менее, известно что Пифагор много путешествовал по странам Востока. В том числе он был и Египте и Вавилоне. В Южной Италии Пифагор основал свою знаменитую "Пифагорову школу", которая сыграла очень даже важную роль, как в научной, так и политической жизни древней Греции. С тех времен по преданиям Плутарха, Прокла и других известных математиков того времени, считалось, что эта теорема до Пифагора известна не была и именно по этому её назвали его именем.

Но история говорит что это не так. Обратимся туда, где бывал Пифагор и что видел, прежде чем сформулировать свою теорему. Африка, Египет. Бесконечный и однообразный океан песка, почти ни какой растительности. Редкие кустики растений, едва заметные верблюжьи следы. Раскаленная пустыня. Солнце и то кажется тусклым, как будто покрытым этим вездесущим мелким песком.

И вдруг, как мираж, как видение, на горизонте возникают строгие очертания пирамид, изумительных по своим идеальным геометрическим формам, устремленным к палящему солнцу. Своими огромными размерами, и совершенством своих форм они изумляют.

Скорее всего, Пифагор их видел в ином виде, нежели как они выглядят сейчас. Это были сияющие полированные громады с четкими гранями на фоне многоколонных прилегающих храмов. Рядом с величественными царскими пирамидами стояли пирамиды поменьше: жен и родичей фараонов.

Власть фараонов Древнего Египта была непререкаемой. Фараонов считали божеством и отдавали им божественные почести. Фараон-бог был вершителем судьбы народа и его покровителем. Даже после смерти культ фараона имел преогромное значение. Умершего фараона сохраняли веками, и для сохранения тела фараона сооружали гигантские пирамиды. Величие, архитектура и размеры этих пирамид поражают и сейчас. Недаром эти сооружения относили к одному из семи чудес света.

Изначально назначение пирамид было не только как усыпальниц фараонов. Считают что они сооружались как атрибуты могущества, величия, и богатства Египта. Это памятники культуры того времени, хранилища истории страны и сведений о жизни фараона и его народа, собрание предметов быта того времени. Кроме того однозначно, что пирамиды имели определенное "научное содержание". Их ориентирование на местности, их форма, размеры и каждая деталь, каждый элемент настолько тщательно продумывались, что должны были продемонстрировать высокий уровень знаний создателей пирамид. Очевидно что они строились на тысячелетия, "навечно". И недаром арабская пословица гласит: "Все на свете страшится времени, а время страшится пирамид".

Своим аналитическим умом Пифагор не мог не заметить определенную закономерность в формах и геометрических размерах пирамид. Скорее всего, это и натолкнуло Пифагора на анализ этих размеров, что впоследствии и было им выражено своей знаменитой теоремой, от которой ныне и отталкивается современная геометия.

Среди множества пирамид сохранившихся до нашего времени особое место занимает пирамида Хеопса. Если рассмотреть геометрическую модель этой пирамиды и восстановить её первоначальную форму, то очевидно, что её поперечное сечение представляет собой два треугольника с внутренним углом равным 51°50'.
                
Сейчас пирамида является усеченной, но это разрушения времени, а если геометрически восстановить её в первоначальном виде, то получается что стороны этих треугольников равны: основание СВ = 116, 58 м, высота АС = 148,28 м.
                      
Отношение катетов у/х = 148,28/116,58 = 1,272. А это величина тангеса угла 51град 50 мин. Получается, что в основу треугольника АСВ пирамиды Хеопса было заложено отношение AC/CB = 1,272. Такой прямоугольный треугольник называется "золотым" прямоугольным треугольником.

Получается что основной "геометрической идеей" пирамиды Хеопса является "золотой" прямоугольный треугольник. Но особой в этом отношении является пирамида Хефрена. Угол наклона боковых граней у этой пирамиды равен 53°12, при котором отношение катетов прямоугольного треугольника 4:3. Такой треугольник называют "священным" или "египетским" треугольником. По мнению многих известных историков, "египетскому" треугольнику в древности придавали особый магический смысл. Так Плутарх писал, что египтяне сопоставляли природу Вселенной со "священным" треугольником: символически они уподобляли вертикальный катет мужу, основание - жене, а гипотенузу - тому, что рождается от обоих.

Для египетского треугольника со сторонами 3:4:5 справедливо равенство: 32 + 42 = 52, а это и есть знаменитая теорема Пифагора. По неволе напрашивается вопрос: не это ли соотношение хотели увековечить египетские жрецы, построив пирамиду в основе которой лежит треугольник 3:4:5. Пирамида Хефрена наглядное подтверждение того что знаменитая теорема была известна египтянам задолго до ее открытия Пифагором.

Неизвестно как это попало к древним египтянам, то ли это заслуга их ученых, то ли это дар из вне, не исключается и то, что это дар внеземной цивилизации, но использование такого треугольника давало египетским строителям очень существенную и к тому же простую возможность при возведении таких огромных сооружений соблюдать точные геометрические размеры. Ведь свойства этого треугольника таковы, что его угол между катетами является равный 90 градусов. То есть использование такого элемента позволяет обеспечить точную перпендикулярность сопрягаемых элементов и естественно всей конструкции, что и подтверждает архитектура древнего Египта.

Получить прямой угол без необходимых инструментов не просто. Но если воспользоваться этим треугольником, оказывается все достаточно просто. Нужно взять обычную веревку, разделить её на 12 равных частей, и из них сложить треугольник, стороны которого будут равны 3, 4 и 5 частям. Угол между сторонами длиной 3 и 4 части оказывается и есть прямой. Вот это и есть Египетский треугольник Пифагора.
 
Во многих исторических письменах имеются следы, что уникальные свойства "египетского треугольника" были известны и широко использовались за много веков до Пифагора и не только в Египте, но и далеко за его пределами: в Месопотамии, в древнем Китае, в Вавилоне.

Знаменитая древнеегипетская пословица "Делай, как делается", дошедшая до наших дней, наталкивает на мысль что сами египтяне, возводившие эти строительные шедевры, были простыми исполнителями и особыми знаниями не обладали, а все секреты были скрыты от непосвященных. Ведь работами на строительстве руководили жрецы - члены особой привилегированной замкнутой касты. Они были хранителями древних знаний, которые держались в секрете. Но пытливый ум великого мыслителя Пифагора сумел разгадать один их этих секретов.

Умы людей всегда будоражат разнообразные загадки, и это, вероятно, будет всегда. Египетский треугольник, хоть и известен человечеству с незапамятных времён, все-таки одна из не полностью разгаданных тайн.

Ведь, что не говори, а форма египетского треугольника и проста, и в то же время гармонична, по своему он даже красив. И с ним достаточно легко работать. Для этого можно использовать самые простые инструменты - линейку и циркуль. Использую этот незатейливый элемент и его симметричные отображения, можно получить красивые, гармоничные фигуры. Это и мальтийский крест, и серединное сечение пирамиды Хефрена, и фрактальный ряд убывающих - возрастающих, по размерам египетских треугольников в соответствии с правилом золотого сечения. Это удивительное богатство гармоничных пропорций.

До сих пор в мире есть много пытливые люди, которые как безумцы изобретают вечный двигатель, ищут квадратуру круга, философский камень и книгу мёртвых. Скорее всего, усилия их тщетны, но даже в случае с Египетским треугольником, ясно что "простых тайн" на земле еще много.

Планиметрия. Страница 5

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Планиметрия. Страница 5  
   
   
 

1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
5.Примеры.

 

 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 

1.Теорема Пифагора

 
 

   Теорема: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство.

1. Разделим каждую сторону большого квадрата на два отрезка x и y точкой. И проведем через эти точки отрезки.

2. Тогда треугольники 1,2,3,4 равны по двум сторонам и углу между ними.

3. Т.к. сумма углов α + β = 90°, то фигура внутри большого квадрата тоже квадрат. (Все стороны = с и все углы = 90° )

4. Площадь большого квадрата равна сумме площадей малого квадрата и 4-х треугольников. (Рис.1)

 

Рис.1 Теорема Пифагора.

 
   
         

2.Египетский треугольник

 
         
 

   Пусть дан треугольник со сторонами АВ = a, ВС = b, АС = c. При условии, что а2 + b2 = с2. Доказать, что угол, лежащий против стороны с, прямой.

   Допустим, что треугольник АВС не прямоугольный. Тогда можно опустить высоту на сторону АС - h (Рис.2). Из двух прямоугольных треугольников ABD и DBC составим следующую систему уравнений по теореме Пифагора. Обозначим AD как х, BD - высота h.

   Но по условию задачи а2 + b2 = с2. Следовательно х = 0 и сторона а = h. Т.е. угол между сторонами АВ и АС - прямой.

   В древнем Египте данное соотношение применялось очень широко. Например для построения прямого угла между сторонами при строительстве зданий и сооружений. Или при измерении прямых углов пахотных земель. Так как зная соотношение, можно легко построить прямой угол. По этой причине треугольник со сторонами 3,4,5 ед. называют Египетским треугольником.    

 

Рис.2 Египетский треугольник.

 
       

3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике

   
       
 

   Пусть дан прямоугольный треугольник АВС. Проведем прямую ЕF параллельную стороне АВ (Рис.3). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках:

   Т.е. соs α не зависит от размеров прямоугольного треугольника, а зависит только от величины угла. Тогда по теореме Пифагора sin α также зависит только от величины угла. А следовательно tg α и ctg α.

   Отсюда можно сделать следующие выводы:

AB = BC sin α
AC = BC cos α
AB = AC tg α
AC = AB ctg α

 

Рис.3 Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.

 
         
         
 
   
 

4.Основные тригонометрические тождества

 

    Пусть дан прямоугольный треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.4)

 

Рис.4 Основные тригонометрические тождества.

 
         
         

5.Пример 1

 

   У треугольника одна сторона равна 1 м, а прилегающие к ней углы 30° и 45°. Найдите другие стороны треугольника. (рис.5)

 
         
 

    Так как один из углов 30 градусов, то катет, лежащий против этого угла равен половине гипотенузы, т.е. h = b/2. А следовательно КС = h, т.к. угол β = 45 градусов.

 

Рис.5 Задача. У треугольника одна сторона равна 1 м...

 
         
 

Пример 2

 
 

   Найдите высоту равнобокой трапеции, если ее основания равны 6 м и 12 м, а боковая сторона равна 5 м. (Рис.6)

 
         
 

   Решение:

   Пусть ABCD данная трапеция. ВЕ перпендикуляр, опущенный на основание AD. Тогда АЕ = (12 - 6)/ 2 = 3 м. Так как АЕ = FD.

    По теореме Пифагора:

   АВ2 = AE2 + BE2

   Следовательно:

   52 = 32 + BE2

   25 = 9 + BE2

   BE2 = 16

   BE = 4 м.

 

Рис.6 Задача. Найдите высоту равнобокой трапеции...

 
         
         
 

Пример 3

 
 

   Докажите, что расстояние между двумя точками на сторонах треугольника не больше большей из его сторон. (Рис.7)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть ABC данный треугольник. АС - его большая сторона. Проведем отрезок DE параллельно стороне АС. Необходимо доказать, что отрезок DE меньше стороны АС. Если мы докажем, что отрезок DE меньше большей стороны АС, то при взятии двух других точек треугольника на других его меньших сторонах, отрезок между этими точками будет также меньше стороны АС.

    Опустим перпендикуляр BF на большую сторону АС. Составим следующее соотношение:

   АС = АВ сos α + ВС cos β

   Тогда отрезок DE будет равен:

   DE = DB сos α + ВE cos β

   Так как DB

   то следовательно, отрезок DE меньше стороны АС.

   Допустим, что отрезок DE непараллелен стороне АС (рис.7 б). Тогда можно взять отрезок DE1 параллельный АС, который больше чем DE, и доказать, что DE1 меньше стороны АС аналогичным образом.

 

Рис.7 Задача. Докажите, что расстояние между двумя точками...

 
         
 

Пример 4

 
 

   Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности на расстояние меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках. (Рис.8)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана окружность с центром в точке О. И прямая а, отстоящая от центра окружности точки О, на расстояние ОЕ = h

   Обозначим прямую, на которой лежит отрезок ОЕ, как b. Пусть точка О делит прямую b на две полупрямые, одна из которых ОЕ. Согласно аксиоме, от любой полупрямой, от ее начальной точки (точки О), в заданную полуплоскость, можно отложить только один угол определенной градусной меры α. Следовательно, отрезок ОЕ = h = ОА*cos α.

   Но так как прямая b делит плоскость на две полуплоскости, то от полупрямой ОЕ, от ее начальной точки (точки О) можно отложить такой же угол, той же градусной меры и во вторую полуплоскость, т.е. -α. Так, что ОЕ = h = ОВ*cos (-α).

   Таким образом, если выполняется условие R = OA > h, то прямая а будет иметь две точки пересечения. Так как

    h = ОА*cos α = ОВ*cos (-α)

   Радиусы ОА и ОВ можно рассматривать как две наклонные, отложенные в двух полуплоскостях, в треугольнике АОВ перпендикуляра ОЕ.

 

Рис.8 Задача. Докажите, что прямая, отстоящая от центра окружности...

 
         
         
 

Пример 5

 
 

   Даны три положительных числа a,b,c. Докажите, что если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то существует треугольник со сторонами a,b,c. (Рис.9)

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть даны три точки. Если эти три точки лежат на одной прямой, например А,Е,С, то расстояния между этими точками связаны соотношением: АС = АЕ + ЕС

   Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше двух других. Т.е. расстояние между точками А и С не больше двух расстояний АЕ и ЕС.

    Если взять три точки, не лежащих на одной прямой, например А,В,С и опустить перпендикуляр ВЕ, то АС

   так как АЕ и ЕС являются проекциями AB и ВС на сторону АС. А любая проекция наклонной всегда меньше (в крайнем случае равна) самой наклонной. Т.е. АE < AB, a EC < BC.

   Таким образом, концы отрезков АВ и СВ смогут совпасть в одной точке В. И можно построить треугольник.

   Предположим, что расстояние АС > AB + BC (Рис.9 б). Тогда концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в точке В. Так как, если даже отрезки такой же длины отложить на отрезке АС, то получится, что

    АС > АВ + СB1 = AE + CE1,

   Таким образом, если числа a,b и с принять за длины отрезков, то концы отрезков АВ и СВ не смогут совпасть в одной точке В. Между ними образуется некое расстояние ВВ1 и построить треугольник не получится.

 

Рис.9 Задача. Даны три положительных числа...

 
         
         
 
   
 
         
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 7  
  1.Основные фигуры планиметрии.
2.Аксиомы планиметрии.
3.Смежные углы.
4.Вертикальные углы.
5.Перпендикулярные прямые.
6.Признаки равенства треугольников.
  1.Движение и его свойства.
2.Симметрия относительно точки.
3.Симметрия относительно прямой.
4.Параллельный перенос и его свойства.
 
         
  Страница 2   Страница 8  
  1.Параллельность прямых.
2.Признаки параллельности прямых.
3.Свойство углов при пересечении параллельных прямых.
4.Сумма углов треугольника.
5.Единственность перпендикуляра к прямой.
6.Высота, биссектриса и медиана треугольника.
7.Свойство медианы равнобедренного треугольника.
  1.Вектор и его абсолютная величина.
2.Сложение векторов.
3.Умножение вектора на число.
4.Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам.
5.Скалярное произведение векторов.
 
         
  Страница 3   Страница 9  
  1.Окружность.
2.Окружность описанная около треугольника.
3.Окружность вписанная в треугольник.
4.Геометрическое место точек.
  1.Преобразование подобия и его свойства.
2.Подобие фигур. Подобие треугольников по двум углам.
3.Подобие треугольников по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
4.Подобие треугольников по трем пропорциональным сторонам.
5.Подобие прямоугольных треугольников.
 
         
  Страница 4   Страница 10  
  1.Параллелограмм.
2.Свойства диагоналей параллелограмма.
3.Ромб.
4.Теорема Фалеса.
5.Средняя линия треугольника.
6.Трапеция.
7.Теорема о пропорциональных отрезках.
  1.Углы, вписанные в окружность.
2.Пропорциональность хорд и секущих окружности.
3.Теорема косинусов.
4.Теорема синусов.
5.Соотношение между углами и сторонами в треугольнике.
 
         
  Страница 5   Страница 11  
  1.Теорема Пифагора.
2.Египетский треугольник.
3.Соотношение между углами и сторонами в прямоугольном треугольнике.
4.Основные тригонометрические тождества.
  1.Многоугольники. Правильные многоугольники.
2.Радиус вписанной и описанной окружностей правильных многоугольников.
3.Подобие многоугольников.
4.Длина окружности.
 
         
  Страница 6   Страница 12  
  1.Декартова система координат.
2.Расстояние между точками.
3.Уравнение окружности.
4.Уравнение прямой.
5.Координаты точки пересечения.
  1.Площадь прямоугольника.
2.Площадь параллелограмма.
3.Площадь треугольника.
4.Площадь круга.
5.Площадь подобных фигур.
6.Площадь трапеции.
 
 
     
 

Египетский треугольник и качества

Египетский треугольник в строительстве + свойства

Еще с давних времен известно о египетском треугольнике и свойствах. Такая фигура широко применялась в сфере строительства для построения и разметки правильных углов.

История появления египетского треугольника. Данная геометрическая конструкция была создана одним из лучших и великих математиков древности – Пифагором.

Именно благодаря его изысканиям в математике мы может в полной мере применять каждое из свойств такого геометрического выстраивания в сфере строительства.

Общие сведения

Обратите внимание, что приятно считать, что толчком к открытию данной геометрический фигуры послужило путешествие, где Пифагор увидел египетские пирамиды. Возможно, именно они и стали настоящим прообразом такой конструкции.

Можно сделать предположение, что именно математические навыки позволили Пифагору отметить закономерность в форме строения. Будущее развитие событий можно с легкостью представить. Базовый анализ, а также выстраивание выводов помогли создать одну из наиболее значительных фигур в истории. Скорее всего, в роли прообраза была выбрана пирамида Хеопса из-за своих почти идеальных пропорций.

Особенности применения египетского треугольника в строительстве

Свойства такой геометрический конструкции, которая в полной мере уникальна, заключаются в том, что ее выстраивание без использования каких-то инструментов дает возможность выстраивать дома с правильными во всех планах углами. Крайне важно, что в идеале стоит применять угольник или транспортир.

Итак, свойства египетского треугольника дает возможность делать правильные в каждом соотношении углы. Стороны конструкции обладают таким соотношением друг к другу, как 5:4:3. Чтобы проверять те или иные фигуры были начерчены, требуется применять хорошо известную теорему Пифагора, которую каждый человек знает со школьных времен.

Интересно, что правило египетского треугольника таково, что квадрат гипотенузы равен квадратам катетов (двух).

Для идеального понимания требуется взять приведенную выше зависимость и составить небольшой пример. Умножьте 5 и 5, в результате чего у вас получается гипотенуза, равна 25. Далее вычисляйте квадраты двух катетов, которые составят 9 и 16. Соответственно, их общая сумма дает 25. Именно по этой причине качества египетского треугольника так часто применяются в сфере строительства. Вам потребуется лишь взять заготовку и прочерчивать прямую линию. Ее длина постоянно должна быть краткая 5. После этого требуется наметить один край и вымерить от него линию, которая кратна 4, а от второго линия должна быть кратной 3.

Обратите внимание, что длина каждого отрезка составляет 4 и 3 см (при минимальном значении). Пересечение прямых будет создавать прямой угол, который равен 90 градусам.

Альтернативные методы выстраивания прямого угла

Как уже было упомянуто выше, самым лучшим вариантом будет лишь взять угольник или транспортир. Такие инструменты дают возможность с минимальными затратами сил и времени добиваться требуемых пропорций. Главным же свойством треугольника является его универсальность. Фигуру можно выстраивать, не имея в арсенале почти ничего.

Ощутимо могут помочь в построении прямого угла простые изделия печатного типа. Возьмите любую книгу или журнал, и все дело в то, что в них соотношение стороны составляет аккурат 90 градусов. Типографические танки способны работать весьма точно, и в обратном случае рулон, который будет заправлен в станок, может быть нарезан непропорциональными кривыми углами.

Как сделать египетский треугольник с применением веревки

Египетский треугольник в строительстве крайне важен, и его качества тяжело переоценить. Неудивительно, что древними инженерами было придумано большое количество методов ее образования с применением минимальных ресурсов. Одним из наиболее простых может считаться способ образования египетского треугольника со всеми свойствами, которые вытекают при помощи обычной веревки. Требуется взять бечевку и разрезать ее на 12 идеально равных частей. Из них требуется сложить фигуру, которая обладает пропорциями 3:4:5.

Как выстраивать углы на 30, 45 и 60 градусов

Естественно, что треугольники египетского типа и его качества весьма полезные при строительстве дома. но без остальных углов вам не удастся обойтись. Чтобы получился угол, который равен 45 градусам, требуется взять материал багета или рамки. После этого важно распиливать его под углом в 45 градусов и состыковать половинки друг с другом.

Обратите внимание, что для получения требуемого наклона требуется вырвать лист бумаги из журнала, а после согнуть его. При этом линия изгиба будет проходить через угол, и края обязательно должна совпадать.

Как видно, свойства фигуры дают возможность куда проще и скорее выстраивать геометрические конструкции. Чтобы добиваться соотношения сторон в 60 градусов, требуется взять один треугольник на 30 градусов и второй аналогичный. Как правило, такие пропорции требуются для того, чтобы создавать определенные декоративные элементы. Соотношение сторон на 30 градусов требуется, чтобы сделать шестиугольики. Их качества востребованы для столярных заготовок.

Заключение

Свойства треугольника из Египта широко применялись в сфере строительства в течение практически 2.5 веков. Даже сегодня при недостатке инструментов строители могут применять еще и открытую Пифагором методику, чтобы добиваться идеально ровных и прямых углов.

 

Египетский треугольник, формула и примеры

Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников – треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Сумма указанных чисел (3+4+5=12) с древних времен использовалась как единица кратности при построении прямых углов с помощью веревки, размеченной узлами на 3/12 и 7/12 ее длины. Применялся в архитектуре средних веков для построения схем пропорциональности.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Изучите 33 интересных факта о древнеегипетских пирамидах

Пирамиды всегда оставались загадкой для человека. Даже в 2018 году мы узнаем больше об этих древних чудесах, созданных руками человека. К большому удивлению, с каждым открытием мы понимаем, что нам предстоит открыть больше, чем когда-либо прежде!

Вот список некоторых наиболее интересных фактов о пирамидах, о которых вы могли не знать:

Инженерное чудо!

Источник: Хорхе Ласкар / Flickr

Пирамида Гизы была построена 4500 лет назад в Египте, но до XIX века она оставалась самым высоким искусственным зданием.Это означает, что он оставался самым высоким зданием за 3800 лет!

Непонятная вещь в этих древних пирамидах - это способность египтян построить что-то настолько гигантское с помощью доисторических методов строительства!

Больше, чем вы думаете!

Источник: Tim Kelley / Flickr

Что касается пирамид, какое число придет вам в голову, если мы спросим вас: сколько пирамид все еще стоит на Земле? 5 или 10? Нет, их больше 5000!

Хотя истинное предназначение этих египетских пирамид вызывает много споров, удивительно, что такие мощные сооружения были построены 4000 лет назад.

Камни, которые весят больше, чем слоны

Источник: HoremWeb / Wikimedia Commons

Представьте себе время без современного оборудования, когда не было кранов и вилочных погрузчиков. Именно в это время египтяне возвели эти пирамиды из камней, которые весят около 5-10 тонн каждая!

Все эти камни были подняты и положены один за другим один на другой. Мы можем только представить, как проходили процессы.

Исследователи все еще работают над выяснением того, как они достигли такого подвига.

Сложные туннели

Источник: Хорхе Ласкар / Flickr

Другой поразительный факт пирамиды заключается в том, что под пирамидами существует сложная сеть проходов, шахт и камер. В этих туннелях хранятся сотни лет истории и тысячи артефактов.

Хотя египетские власти раскопали и заполучили большинство найденных товаров, подробности недоступны широкой публике.

Обман рабов

Источник: Джеймс Пэджетт / Wikimedia Commons

Было широко распространено мнение, что рабам было поручено построить огромные пирамиды.Позже это было опровергнуто, и выяснилось, что строительство было поручено наемным рабочим.

Рабочие со всего севера и юга, уважаемые за свой труд, работали без устали. Рабочие могилы были обнаружены примерно в 2010 году; тело сохраняется в сухом песке вместе с банками пива и хлеба для загробной жизни.

Древний кондиционер

Источник: zolakoma / Flickr

Еще один интересный факт об этих необычных сооружениях заключается в том, что, несмотря на резкие колебания температуры дня и ночи, великие пирамиды поддерживают постоянную внутреннюю температуру на уровне 20 градусов Цельсия.Скажи Hola матери древнего кондиционера.

Пирамида вокруг сундука

Источник: Дерек Мейер / Flickr

Внутри главного зала Гизы находится ящик, который слишком велик, чтобы его можно было пронести через узкий входной проход.

Это осознание привело археологов к мысли, что великая пирамида была построена вокруг гроба, а не принесена после постройки.

Как они были такими точными 4500 лет назад?

Источник: Джейсон Уэсли Аптон / Flickr

Египтяне использовали два созвездия, чтобы выровнять свои пирамиды в направлении север-юг.Одна была большой, а другая - маленькой.

Гробницы выровнены с севера на юг с точностью до 0,05 градуса. Это произошло в эпоху, когда современные высокоточные инструменты даже представить не могли!

Таинственная ступка

Источник: Шон Кловер / Flickr

Есть старая арабская пословица, которая переводится как «Человек боится времени, время боится пирамид». Пирамиды - одно из древнейших чудес света.

Причина в том, что для фиксации камней на месте используется суперклейкий раствор.Раствор, использованный при строительстве этих пирамид, анализировался снова и снова.

Но точное сочетание ингредиентов остается загадкой. Было использовано почти 5 миллионов тонн раствора, а прочность больше, чем у самих камней.

Самая легкая 20-тонная поворотная дверь

Источник: Fred Hsu / Wikimedia Commons

В пирамиде Гизы всего 3 поворотные двери. Одна из огромных дверей - это 20-тонная поворотная дверь в великой пирамиде, которая настолько хорошо сбалансирована, что ее можно открыть изнутри одной рукой!

В закрытом состоянии он идеально вписывается в стену, создавая впечатление, что его даже нет!

Они блестели, как золото!

Источник: David Stanley / Flickr

Во время постройки эти древние египетские пирамиды были покрыты хорошо отполированным известняковым покрытием.Известняк, положенный на пирамиды, буквально сверкал, как алмазы, когда светило солнце.

Это сияние делало строения видимыми за много миль.

Выравнивание с Орионом

Источник: Анирбан Нанди / Wikimedia Commons

Три пирамиды Гизы выровнены в точном соответствии с тремя звездами пояса Ориона. Создавая точную имитацию пояса Ориона, три пирамиды Гизы фактически указывают прямо на пояс Ориона.

Ранняя плоская пирамида

Источник: Rüdiger Stehn / Flickr

Знаете ли вы, что существуют пирамиды с плоскими вершинами !? ДА, многие из ранних пирамид по всему миру были сделаны с плоской вершиной.

Фактически, первая пирамида, построенная египтянами на месте Саккары около 4700 лет назад, не имела треугольных сторон. Это была гробница египетского царя Джосера с плоской крышей, что привело археологов к выводу, что первые пирамиды действительно были плоскими.

Многие подобные пирамиды из прошлого существуют и сегодня.

Цель мастабов

Источник: Oesermaatra0069 / Wikimedia Commons

Мастабы были гробницами для людей, не имевших высоких рангов, и их гробницы были построены в специальных камерах внутри пирамид. Историки считают, что единственная причина, по которой гробницы Мастаба были поблизости, заключается в том, что души внутри них могут продолжать служить царю в своей загробной жизни.

Гвардия Хафра

Источник: Cyndy Sims Parr / Flickr

Огромная статуя Сфинкса была построена рядом с великой пирамидой около 4500 лет назад.Имеет строение тела льва и головы фараона.

Единственной целью Сфинкса была охрана пирамиды Хефрена в Гизе.

Разносторонний Имхотеп

Источник: Ху Тотя / Wikimedia Commons

Имхотеп был одним из первых мастеров-архитекторов Египта. Он известен как изобретатель пирамиды. Его навыки на этом не заканчиваются, поскольку он был врачом, астрономом, первосвященником и т. Д.

СВЯЗАННЫЕ С: ТАЙНЫ ГИЗСКОЙ ПЛАТО - ПИРАМИДЫ

Он был министром Джосера, а после его смерти стал почитается как Бог медицины.

Колоссальный вес Великой пирамиды

Источник: Karen / Flickr

Великая пирамида Хуфу весит колоссальные 5750000 тонн! Если хотите сравнения, Бурдж-Халифа весит всего 500 000 тонн!

Великая пирамида состоит из примерно 2,3 миллиона каменных блоков, каждый из которых весит примерно 2267,96 кг (2,5 тонны). Делать математику!

Теория местоположения

Источник: Центр космических полетов Маршалла НАСА / Flickr

В 1877 г.Джозеф Сейсс нашел интересное открытие. Он показал, что пирамида Гизы расположена точно на пересечении самой длинной линии долготы и самой длинной линии широты.

Или мы можем сказать так - великая пирамида в самом центре суши на планете Земля. Интересно, правда?

Попытка разрушить пирамиды

Источник: zolakoma / Flickr

Король Аль-Азиз, сын Саладина, курдского правителя, планировал разрушить пирамиды в XII веке.К счастью, он сдался, потому что эта работа была слишком сложной даже для короля!

Хотя нападение оставило брешь в пирамиде Менкаура.

Среднее время, затраченное на создание одной пирамиды

Источник: Умберто Де Пеппо Кокко / Flickr

Великая пирамида Гизы, хотя и очень сложна с точки зрения точности и архитектуры, заняла почти 23 года. Большинство пирамид были построены одновременно.

Пирамиды - один из чудесных образцов инженерной мысли древней истории, который до сих пор остается предметом исследований и любопытства.

Тайна иероглифов

Источник: LBM0 / Flickr

Все ассоциируют иероглифы с пирамидами. Хотя посетители не найдут вписанных внутри иероглифов, в 2011 году исследователи с помощью робота обнаружили иероглифы внутри секретной камеры пирамиды Гизы.

Поразительное количество рабочих

Источник: Tyler / Flickr

Цифры о количестве рабочих разнятся. Историки принимают во внимание различные факторы, включая то, сколько человек могло потребоваться, чтобы поднять один блок.

Один такой отчет предполагает, что, возможно, было почти 60000 человек вне строения и 30000 внутри него, что потребовалось

рабочих, чтобы построить пирамиду.

Лицо Сфинкса

Источник: Сигурд Гартманн / Flickr

Сфинкс был построен для охраны пирамид. В записях многих отмечается, что лицо Сфинкса очень похоже на фараона Хафру.

Он имеет длину 241 фут и обращен к восходящему солнцу.

Погребальные товары

Источник: Einsamer Schütze / Wikimedia Commons

Египтяне, также известные как могильные товары, верят, что Египет был лучшим местом, которое Бог мог создать для жизни любого человека. Они считали, что после смерти человек попадает в такой же зеркальный мир, как Египет.

Единственное различие, которое они себе представляли, - это отсутствие горя или печали. Они считали, что человеку могут понадобиться вещи в другой жизни так же, как человеку нужны вещи при жизни.

Итак, они хоронили тело с предметами первой необходимости, а в случае царей в пирамидах они обычно хоронили золото и другие ценные предметы вместе с телом.

Все драгоценные артефакты, найденные в пирамидах, принадлежат египетским властям.

Посчитайте их снова!

Источник: Центр космических полетов им. Маршалла НАСА / Flickr

Хотя пирамиды могут создавать впечатление, что у них только 4 стороны, у пирамиды Гизы 8 сторон. Каждая из четырех сторон пирамид равномерно разделена от основания до вершины.

Это открытие относится к 1940 году, когда пилот по имени П. Гровс заметил странное место с 8 сторон, пролетая над ним.

Вмятины видны сверху только при соответствующем освещении.

Нисходящий проход и Альфа Дракона

Источник: NASA / HST / Wikimedia Commons

В Великой пирамиде в Гизе нисходящая шахта или проход был выровнен точно по полярной звезде «Альфа Дракона», когда она была построена в 2141 г. до н.э.

Полярная звезда выравнивается с Землей один раз в 25920 лет.Когда пирамида строилась, архитектор использовал выравнивание Альфы Дракона, чтобы определить направление на истинный север.

Логика Ихета

Источник: vpzone / Flickr

Слово «Ихет» означает славный свет. Когда были построены пирамиды, они были отлиты из известняка, который раньше сверкал на солнце.

Этот свет был причиной того, что пирамиды были названы Ихет. Отливка из известняка в конечном итоге выцвела или была разрушена, и все, что осталось, - это просто раствор и гигантские камни.

Сапфировое сверло

Источник: future15pic / Flickr

Сундук Хафра был высверлен из твердого черного гранита, для чего потребовались бронзовые пилы длиной от 8 до 9 футов с сапфировыми зубьями.

Анализ сундука показывает, что он был вырезан одноточечным сверлом, в котором использовались твердые алмазные коронки и усилие сверления почти 2 тонны.

Без тени

Источник: future15pic / Flickr

Пирамиды - одна из наиболее изученных структур в мире.Тайна его постройки до сих пор не дает покоя исследователям.

Среди многих свойств пирамиды одно было солнечными часами. Это были одни из самых сложных солнечных часов, найденных по всему миру, которые указывали на солнцестояние и равноденствие.

В полдень весной Великая пирамида Гизы не отбрасывает тени.

Корреляция с Pi

Источник: Internet Archive Book Images / Flickr

Исследователи выдвинули идею, что Пи мог быть включен в дизайн Великой пирамиды Хуфу в Гизе.Джон Тейлор обнаружил, что если разделить периметр пирамиды на ее высоту, результирующее значение будет равно 2Pi.

Он также предположил, что, возможно, Великая пирамида предназначалась для представления Земли, высота аналогична радиусу, соединяющему центр Земли на Северном полюсе, а периметр аналогичен окружности Земли на земном экваторе.

Загадка процесса строительства

Источник: Линн Хэнд / Flickr

О пирамидах говорили веками.Они завораживают нас тем, насколько точной была тогда архитектура. Но о процессе строительства известно немногое.

Например, мы можем только догадываться, как блоки были подняты так высоко и какие еще процессы были включены.

Исследователи все еще пытаются воссоздать миномет, а сеть взаимосвязанных туннелей была обнаружена совсем недавно.

Достаточно, чтобы построить стену вокруг Франции

Источник: Европейское космическое агентство / Flickr

Асуанский карьер - это место, откуда поставлялись камни для строительства пирамид.

Предполагается, что блоков этих трех пирамид на самом деле достаточно, чтобы построить стену 10 футов высотой и толщиной в один фут вокруг всей Франции.

Сундук из одного камня

Источник: Clock / Wikimedia Commons

В Великой пирамиде Гизы есть таинственный сундук, сделанный из цельного гранита. Огромный гранитный блок был пробурен и превращен в сундук.

Сундук находится в покоях царя в пирамиде и был вставлен до возведения потолка.

Люди верят, что сундук обладает магическими свойствами.

.

Определение и свойства треугольника - Math Open Reference

Определение и свойства треугольника - Math Open Reference Замкнутая фигура, состоящая из трех отрезков, соединенных встык.
Трехсторонний многоугольник. Попробуйте это Перетащите оранжевые точки на каждую вершину чтобы изменить форму треугольника.

Недвижимость треугольника

Вершина Вершина (множественное число: вершины) это угол треугольника. Каждый треугольник имеет три вершины.
База Основанием треугольника может быть любая из трех сторон, обычно та, которая нарисована внизу. Вы можете выбрать любую сторону в качестве основы. Обычно используется как справочная сторона для расчета площадь треугольника. В равнобедренном треугольнике за основу обычно принимается неравная сторона.
Высота Высота треугольника - это перпендикуляр от основания к противоположной вершине.(Возможно, потребуется расширить базу). Поскольку существует три возможных базы, возможны также три возможных высоты. Три высоты пересекаются в единственная точка, называемая ортоцентром треугольника. См. "Ортоцентр треугольника".
На рисунке выше вы можете увидеть одну возможную базу и соответствующую ей высоту.
Медиана Медиана треугольника - это линия от вершины до середины противоположной стороны. Три медианы пересекаются в одной точке, называемой центром тяжести треугольника.Увидеть центроид треугольника
Площадь См. Площадь треугольника и Формула Герона
Периметр Расстояние вокруг треугольника. Сумма его сторон. Посмотреть периметр треугольника
Уголки внутренние Три угла внутри треугольника в каждой вершине. См. Внутренние углы треугольника
Наружные углы Угол между стороной треугольника и продолжением соседней стороны.См. Внешние углы треугольника

Также:

  1. Самая короткая сторона всегда противоположна наименьшему внутреннему углу
  2. Самая длинная сторона всегда противоположна наибольшему внутреннему углу
Подробнее об этом см. Взаимосвязь стороны / угла в треугольнике.

Терминология

Обычно каждую вершину треугольника называют одной заглавной (заглавной) буквой. Стороны могут быть названы одним маленькая (строчная) буква и названа в честь противоположного угла.Итак, на рисунке выше вы можете видеть, что сторона b противоположна вершине B, сторона c - противоположна вершине C и так далее.

В качестве альтернативы сторону треугольника можно рассматривать как отрезок, соединяющий две вершины. Тогда сторона b будет называться AC. Эта форма используется на этом сайте, потому что она одинакова для всех форм, а не только для треугольников.

Свойства всех треугольников

Это некоторые хорошо известные свойства всех треугольников. См. Полный список в разделе ниже

Типы треугольников

Ниже перечислены семь типов треугольников.Обратите внимание, что данный треугольник может быть более одного типа одновременно. Например, разносторонний треугольник (без сторон одинаковой длины) может иметь один внутренний угол 90 °, что делает его также прямоугольным. Это можно было бы назвать «прямоугольным разносторонним треугольником».

Классифицирующие треугольники

Семь типов треугольников можно разделить на две группы: по сторонам и по внутренним углам. Подробнее об этом см. Классификация треугольников.

Построение треугольников

Многие типы треугольников могут быть построены с помощью циркуля и линейки, используя традиционные Евклидовы методы построения.Для получения дополнительной информации см. Конструкции с использованием циркуля и линейки.

Другие темы треугольника

Общие

Периметр / Площадь

Типы треугольников

Центры треугольника

Конгруэнтность и сходство

Решение треугольников

Треугольник викторины и упражнения

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

.

Угловые свойства треугольников | Ресурсы Wyzant

Теперь, когда мы знакомы с классификациями треугольников, мы можем начать наше обширное изучение углов треугольников. Во многих случаях нам придется использовать угловые теоремы мы видели, чтобы помочь нам решить проблемы и доказательства. Однако есть некий треугольник теоремы, которые будет так же необходимо знать. Эта первая теорема говорит нам, что, зная размеры двух углов треугольника, можно определить мера третьего угла.

Теорема о сумме углов треугольника

Сумма размеров внутренних углов треугольника равна 180.

Диаграмма выше иллюстрирует теорему о сумме углов треугольника.

Давайте рассмотрим несколько примеров с использованием теоремы о сумме треугольника, чтобы понять ее полезность.

Примеры

(1) Найдите размер ? C .

Решение:

Как и в случае со всеми проблемами, мы должны сначала использовать факты, которые нам сообщают. С использованием На диаграмме дано, что

Поскольку наша цель - найти величину ? C , мы можем использовать треугольник Теорема суммы углов для поиска недостающего угла.Итак, у нас

Используя полученные угловые меры, мы можем подставить эти значения в наши уравнение, чтобы получить.

Имея размеры ? C до 26 ° , удовлетворяет свойству что сумма внутренних углов треугольника составляет 180 ° .

(2) Найдите значение x на диаграмме ниже.

Решение:

В этом упражнении мы получаем, что

Глядя на ? RST , мы видим, что нам даны два из трех углов.Таким образом, мы можем применить теорему о сумме углов треугольника, чтобы вычислить меру третий угол:

Обратите внимание, что ? SRT - это вертикальный угол, противоположный ? QRP , поэтому мы можем сделать вывод, что

Тогда по определению конгруэнтных углов имеем

Теперь у нас есть одна из трех угловых мер: ? QRP .Поскольку мы знаем, что m? P = m? Q = x , мы можем использовать теорему о сумме углов треугольника следующим образом

Мы обнаружили, что размер ? P и ? Q равен 67 .

Чтобы понять следующую теорему, мы должны выучить еще два термина, описывающих углы. Угол, образованный одной стороной треугольника с продолжением другой. сторона называется внешним углом треугольника.

Наружные углы получили свое название, потому что расположены на внешней стороне треугольников.

Два угла, которые не примыкают к внешнему углу треугольника или рядом с ним. называются удаленных внутренних углов .

Теперь, когда мы знаем, что означают эти термины, мы готовы к теореме, которая поможет в наших доказательствах.

Теорема о внешнем угле

Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух удаленных внутренних углов.

Сложение размеров двух удаленных внутренних углов треугольника дает меру внешнего угла.

Давайте посмотрим, как можно использовать теорему о внешнем угле, чтобы помочь нам найти меры неизвестных углов в примерах ниже.

Примеры

(1) Найдите размеры ? 1 и ? 2 на рисунке ниже.

Решение:

Во-первых, мы можем решить для м? 1 , поскольку нам дана мера двух углы этого треугольника.Эта часть проблемы аналогична примерам, которые мы уже сделали выше. Начнем с утверждений о том, что нам дано, что являются:

Теперь мы можем найти м? 1 , используя теорему о сумме углов треугольника. Итак, у нас

Чтобы найти меру ? 2 , нам нужно будет применить Теорема о внешнем угле.Мы знаем, что два удаленных внутренних угла на рисунке являются ? S и ? A . Таким образом, по теореме о внешнем угле сумма этих углов равна мере внешнего угла. У нас

Хотя это и не всегда необходимо, мы можем проверить наше решение, используя наши предыдущие знания. линий.Мы видим, что ? 1 и ? 2 составляют луч AK . А поскольку прямые имеют размеры 180 ° , мы знаем, что сумма из ? 1 и ? 2 должны быть 180 . Давай проверим чтобы убедиться:

Итак, мы знаем, что решили эту проблему правильно.

(2) Найдите m? B .

Решение:

Давайте сначала посмотрим на информацию, которую нам дали. Мы знаем, что

Сразу же мы можем применить теорему о внешнем угле, чтобы помочь нам решить проблема.У нас

Однако это не дает ответа на вопрос. Вопрос задан для m? B . Сама по себе переменная x не говорит нам, какова мера угла является. Итак, мы должны подставить x = 4 в наше уравнение для м? B :

.

Теперь мы обнаружили, что размер ? B равен 39 ° .

.

Что такое треугольник и его свойства? Определение, виды, формулы треугольников

[email protected] [email protected] Бесплатная пробная версия - начните подготовку к GMATО насЧто говорят наши студенты Бесплатная пробная версия - начните подготовку к GMATО насЧто говорят наши студенты
    Toggle navigation
ООО ЛАНДЕФ © 2009 – 2020
105187, Москва, ул. Вольная д. 39, 4 этаж.
Карта сайта, XML.